WLS — Bình phương nhỏ nhất có trọng số

WLS (Weighted Least Squares) là biến thể của OLS dùng khi phương sai sai số thay đổi (heteroskedasticity) và ta biết (hoặc ước lượng được) cấu trúc của nó. WLS gán trọng số tỉ lệ nghịch với phương sai sai số để khôi phục tính hiệu quả của ước lượng.

Khi nào dùng

Dùng WLS khi phương sai sai số không đồng nhất nhưng có cấu trúc biết trước (ví dụ phương sai tỉ lệ với một biến). Nếu chỉ cần suy diễn vững mà không biết cấu trúc, dùng OLS + sai số chuẩn robust.

---

Đặc tả mô hình

WLS tối thiểu hóa tổng bình phương phần dư có trọng số $w_i$:

$$\min_{\beta} \sum_{i=1}^{n} w_i \, (Y_i - X_i \beta)^2, \qquad w_i = \frac{1}{\sigma_i^2}$$

Trọng số tối ưu là nghịch đảo phương sai sai số $\sigma_i^2$. Khi mọi $w_i$ bằng nhau, WLS trùng OLS.

---

Giả định & lưu ý

• Cần biết hoặc ước lượng đúng cấu trúc phương sai $\sigma_i^2$; chọn sai trọng số có thể làm kết quả tệ hơn OLS.
• Nếu phương sai phải ước lượng từ dữ liệu, ta có FGLS (Feasible GLS).
• Vẫn cần ngoại sinh ($E[\varepsilon \mid X] = 0$) như OLS.

---

Thực hiện trong EcoLab

1. Module Mô hình hóa → họ Hồi quy tuyến tính cổ điển → WLS.
2. Chọn $Y$, các $X$, và biến/quy tắc trọng số (ví dụ $1/x$, $1/x^2$).
3. Chạy và so sánh với OLS ở thẻ Ước lượng; xuất mã tái lập.

---

Ví dụ đầu vào / đầu ra

Đầu vào (minh họa): chi_tieu hộ gia đình theo thu_nhap; phương sai tăng theo thu nhập ⇒ trọng số $1/\text{thu\_nhap}$.

Đầu ra (định dạng, số liệu minh họa — không phải kết quả thực): hệ số tương tự OLS nhưng SE nhỏ hơn (hiệu quả hơn) khi trọng số đúng.

---

Minh họa mã tái lập

Stata

* === WLS với trọng số phân tích (analytic weights) ===
* Trọng số tỉ lệ nghịch phương sai: w = 1/thu_nhap
regress chi_tieu thu_nhap x2 [aweight = 1/thu_nhap]

* Hoặc dùng lệnh vwls khi biết độ lệch chuẩn sai số
* vwls chi_tieu thu_nhap x2, sd(sigma)

R

# === WLS trong R ===
# Trọng số: nghịch đảo phương sai (1/thu_nhap)
model_wls <- lm(chi_tieu ~ thu_nhap + x2,
                weights = 1 / thu_nhap,
                data = df)
summary(model_wls)

# So sánh SE với OLS thường
model_ols <- lm(chi_tieu ~ thu_nhap + x2, data = df)
cbind(WLS = coef(summary(model_wls))[, "Std. Error"],
      OLS = coef(summary(model_ols))[, "Std. Error"])

Python

import statsmodels.api as sm

# === WLS trong Python ===
X = sm.add_constant(df[['thu_nhap', 'x2']])
y = df['chi_tieu']

# Trọng số = 1 / phương sai sai số (1/thu_nhap)
weights = 1 / df['thu_nhap']

model_wls = sm.WLS(y, X, weights=weights).fit()
print(model_wls.summary())

---

Hạn chế

• Rất nhạy với việc chọn sai trọng số.
• Khi không chắc cấu trúc phương sai, ưu tiên OLS + robust SE hoặc GLS/FGLS.

Video minh họa

Video Tutorial: Hướng dẫn chạy WLS trong EcoLab

Xem thêm

• OLS · GLS · Danh mục mô hình