NLS — Bình phương nhỏ nhất phi tuyến

NLS (Nonlinear Least Squares) ước lượng mô hình phi tuyến theo tham số — khi quan hệ không thể tuyến tính hóa, vd hàm tăng trưởng logistic, hàm sản xuất CES, mô hình bão hòa. NLS tối thiểu hóa tổng bình phương phần dư của một hàm phi tuyến $f(X_i, \beta)$.

Khi nào dùng

Dùng NLS khi lý thuyết quy định dạng hàm phi tuyến cụ thể (vd CES, logistic). Nếu chỉ phi tuyến theo biến nhưng tuyến tính theo tham số (vd thêm $X^2$), OLS vẫn dùng được.

---

Đặc tả mô hình

$$Y_i = f(X_i, \beta) + \varepsilon_i, \qquad \hat{\beta} = \arg\min_{\beta} \sum_{i} \big(Y_i - f(X_i,\beta)\big)^2$$

Giải bằng thuật toán lặp (Gauss-Newton, Levenberg-Marquardt); cần giá trị khởi tạo hợp lý.

---

Thực hiện trong EcoLab

1. Module Mô hình hóa → họ Phi tuyến & bán tham số → NLS.
2. Khai báo dạng hàm $f(X,\beta)$ và giá trị khởi tạo tham số.
3. Chạy, kiểm tra hội tụ + hệ số; xuất mã tái lập.

---

Minh họa mã tái lập

Stata

* === NLS — Hồi quy phi tuyến ===

* Ước lượng dạng hàm: y = b0 + b1 * x1^b2
nl (y = {b0} + {b1}*x1^{b2}), variables(x1) initial(b0 1 b1 1 b2 0.5)

* Xem kết quả hội tụ và hệ số

R

# === NLS — Hồi quy phi tuyến ===

# Ước lượng dạng hàm: y = b0 + b1 * x1^b2
nls_model <- nls(y ~ b0 + b1 * x1^b2,
                 data = df,
                 start = list(b0 = 1, b1 = 1, b2 = 0.5))

summary(nls_model)

# Giá trị dự báo
df$y_hat <- predict(nls_model)

Python

# === NLS — Hồi quy phi tuyến ===

import numpy as np
from scipy.optimize import curve_fit

# Định nghĩa dạng hàm phi tuyến
def func(x, b0, b1, b2):
    return b0 + b1 * x**b2

# Ước lượng với giá trị khởi tạo
popt, pcov = curve_fit(func, df['x1'].values, df['y'].values,
                        p0=[1, 1, 0.5])

print(f"b0 = {popt[0]:.4f}, b1 = {popt[1]:.4f}, b2 = {popt[2]:.4f}")

# Sai số chuẩn của tham số
perr = np.sqrt(np.diag(pcov))
print(f"SE: {perr}")

---

Hạn chế

• Nhạy với giá trị khởi tạo; có thể hội tụ về cực tiểu địa phương hoặc không hội tụ.
• Suy diễn dựa trên xấp xỉ tiệm cận; cần mẫu đủ lớn.

Video minh họa

Video Tutorial: Hướng dẫn chạy NLS trong EcoLab

Xem thêm

• GAM · OLS · Danh mục