GLS / FGLS — Bình phương nhỏ nhất tổng quát

GLS (Generalized Least Squares) tổng quát hóa OLS để xử lý phương sai sai số thay đổi và/hoặc tự tương quan thông qua ma trận hiệp phương sai sai số $\Omega$. Khi $\Omega$ chưa biết và phải ước lượng từ dữ liệu, ta dùng FGLS (Feasible GLS).

Khi nào dùng

Dùng GLS/FGLS khi sai số có cấu trúc tương quan/phương sai phức tạp (vd tự tương quan AR(1), nhóm). WLS là trường hợp đặc biệt của GLS khi $\Omega$ chéo.

---

Đặc tả mô hình

GLS ước lượng:

$$\hat{\beta}_{GLS} = (X' \Omega^{-1} X)^{-1} X' \Omega^{-1} Y$$

trong đó $\Omega = \mathrm{Var}(\varepsilon \mid X)$ là ma trận hiệp phương sai sai số. Nếu $\Omega = \sigma^2 I$ thì GLS trùng OLS.

---

GLS vs FGLS

	GLS	FGLS
$\Omega$	Biết trước	Ước lượng từ dữ liệu
Tính chất	Hiệu quả (nếu $\Omega$ đúng)	Tiệm cận hiệu quả (mẫu lớn)
Thực tế	Hiếm khi biết $\Omega$	Phổ biến hơn

---

Thực hiện trong EcoLab

1. Module Mô hình hóa → họ Hồi quy tuyến tính cổ điển → GLS hoặc FGLS.
2. Chọn $Y$, các $X$, và cấu trúc hiệp phương sai (vd AR(1), nhóm).
3. Chạy và đọc thẻ Ước lượng, Chẩn đoán; xuất mã tái lập.

---

Minh họa mã tái lập

Stata

* === FGLS cho dữ liệu bảng ===
* Phương sai thay đổi theo nhóm + tự tương quan AR(1)
xtset id year
xtgls y x1 x2, panels(hetero) corr(ar1)

* FGLS đơn giản (Prais-Winsten cho chuỗi thời gian)
* prais y x1 x2, corc

R

# === GLS trong R (gói nlme) ===
library(nlme)

# GLS với tự tương quan AR(1) và phương sai thay đổi
model_gls <- gls(y ~ x1 + x2,
                 correlation = corAR1(form = ~ 1 | id),
                 weights = varPower(),
                 data = df)
summary(model_gls)

Python

import numpy as np
import statsmodels.api as sm

# === GLS trong Python ===
X = sm.add_constant(df[['x1', 'x2']])
y = df['y']

# Xây dựng ma trận hiệp phương sai Omega (ví dụ ước lượng từ OLS residuals)
ols_resid = sm.OLS(y, X).fit().resid
sigma = np.diag(ols_resid ** 2)  # Ước lượng sơ bộ

model_gls = sm.GLS(y, X, sigma=sigma).fit()
print(model_gls.summary())

---

Hạn chế

• FGLS có thể chệch ở mẫu nhỏ nếu $\Omega$ ước lượng kém.
• Nếu chỉ cần suy diễn vững, OLS + sai số chuẩn robust/clustered thường đơn giản và an toàn hơn.

Video minh họa

Video Tutorial: Hướng dẫn chạy GLS / FGLS trong EcoLab

Xem thêm

• OLS · WLS · Danh mục mô hình